命題３９
与えられた約数を持つ最小の数を見つけること。
A、B、Cを与えられた約数とする。
約数A、B、Cを持つ最小の数を見つけることを必要とする。
D、E、Fを約数A、B、Cと同じ名で呼ばれる数とする。D、E、Fによって割り切られる最小数Gを取る。propositionⅦ．３６
それゆえにGはD、E、Fと同じ名で呼ばれる約数を持つ。propositionⅦ．３７
しかしA、B、CはD、E、Fと同じ名で呼ばれる約数であり、それゆえにGは約数A、B、Cを持つ。
次にGがまた約数A、B、Cを持つ最小数であることをいう。
そうでないならば、約数A、B、Cを持つGより小さいある数Hがある。
Hは約数A、B、Cを持つから、それゆえにHは約数A、B、Cと同じ名で呼ばれる数によって割り切られる。しかしD、E、Fは約数A、B、Cと同じ名で呼ばれる数であり、それゆえにHはD、E、Fによって割り切られる。propositionⅦ．３８
そして、不可能であるけれども、HはGより小さい。それゆえに約数A、B、Cを持つGより小さい数はない。
証明終了